Question

10．在半径为2的球面中，有一个底面是等边三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱的顶点都在这个球面上，则该三棱柱的侧面积的最大值为12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设底面等边三角形的边长为a，三棱柱的高为h．由题意可得：2²=$（\frac{1}{2}h）^{2}$+$（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}$，利用基本不等式的性质、侧面积的计算公式即可得出．

解答 解：设底面等边三角形的边长为a，三棱柱的高为h．
由题意可得：2²=$（\frac{1}{2}h）^{2}$+$（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}$，
化为：4a²+3h²=48．
∴48≥$2\sqrt{4{a}^{2}•3{h}^{2}}$，化为：ah≤4$\sqrt{3}$．当且仅当a=$\sqrt{6}$，h=2$\sqrt{2}$时取等号．
∴侧面积S=3ah≤12$\sqrt{3}$，即该三棱柱的侧面积的最大值为12$\sqrt{3}$．
故答案为：12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、基本不等式的性质、侧面积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．