题目内容
14．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线交双曲线的右支交于点P，若|PF2|=|F1F2|，则双曲线的离心率是（ ）| A． | $\sqrt{3}$-1 | B． | $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$+1 | D． | $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ |
分析 设出双曲线的左焦点，由双曲线的定义求得|PF1|，再由余弦定理和离心率公式计算即可得到所求．
解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点为F1（-c，0），
由于|PF2|=|F1F2|=2c，
由∠PF1F2=$\frac{π}{6}$，
由双曲线的定义可得，|PF1|=2a+2c，
由余弦定理可得，|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|•|F1F2|•cos$\frac{π}{6}$，
即有4c2=（2a+2c）2+4c2-2（2a+2c）•2c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化简可得a=（$\sqrt{3}$-1）c，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故选：B．
点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，运用定义是解本题的关键．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
5．已知点F1，F2是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，点A是双曲线右支上一点，∠AF2F1=$\frac{2π}{3}$，且（$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}A}$）•$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=0，则此双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ | B． | $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ |
9．双曲线2x2-y2=1的渐近线方程是（ ）
| A． | y=±$\frac{1}{2}$x | B． | y=±2x | C． | y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x | D． | y=±$\sqrt{2}$x |
