Question

5．已知点F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，点A是双曲线右支上一点，∠AF₂F₁=$\frac{2π}{3}$，且（$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}A}$）•$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=0，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 设F₁（-c，0），F₂（c，0），运用向量的数量积的性质可得|$\overrightarrow{{F}_{2}A}$|=|$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$|=2c，在△AF₁F₂中，运用余弦定理可得|AF₁|=2$\sqrt{3}$c，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），
由（$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}A}$）•$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=0，可得
（$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}A}$）•（$\overrightarrow{{F}_{2}A}$-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）=0，
即有$\overrightarrow{{F}_{2}A}$²-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$²=0，
即|$\overrightarrow{{F}_{2}A}$|=|$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$|=2c，
在△AF₁F₂中，∠AF₂F₁=$\frac{2π}{3}$，
可得|AF₁|=$\sqrt{4{c}^{2}+4{c}^{2}-2•2c•2c•（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$c，
由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
即2$\sqrt{3}$c-2c=2a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量的数量积的性质和双曲线的定义，结合三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．