Question

已知函数f（x）=

x3

3

+ax²+bx+c-ln（x+2）．
（Ⅰ）当a=-1，b=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当

1

2

≤a≤1，b=2时，对任意x∈[-1，+∞），总有f（x）≥

2

3

，求实数c的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=-1，b=-2代入表达式，求出函数的导数，从而求出单调区间，
（Ⅱ）先求出f′（x）=

x3+(2a+2)x2+(4a+2)x+3

x+2

，（x＞-1），设g（x）=x³+（2a+2）x²+（4a+2）x+3，g（x）在（-1，+∞）递增，从而f（x）在（-1，+∞）递增，得f（x）≥f（-1），得不等式-

1

3

+a-2+c≥

2

3

，进而c≥（3-a）_max=

5

2

，问题得解．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1，b=-2时，
f（x）=

x3

3

-x²-2x+c-ln（x+2），
∴f′（x）=

(x+1)(x2-x-5)

x+2

，（x＞-2）．
由f′（x）≥0，解得：x≥

1+ 21

2

或

1- 21

2

≤x≤-1，
∴f（x）在（-2，

1- 21

2

）递减，在[

1- 21

2

，-1]递增，
在（-1，

1+ 21

2

）递减，在[

1+ 21

2

，+∞）递增，
（Ⅱ）∵f′（x）=

x3+(2a+2)x2+(4a+2)x+3

x+2

，（x＞-1），
设g（x）=x³+（2a+2）x²+（4a+2）x+3，
∴g′（x）=3x²+2（2a+2）x+（4a+2），
∵

1

2

≤a≤1，
∴-

2a+2

3

≤-1，
∴g′（x）在（-1，+∞）递增，
∴g′（x）≥g′（-1）＞0，
∴g（x）在（-1，+∞）递增，
∴g（x）≥g（-1）=2-2a≥0，
即f′（x）≥0，（x≥-1），
∴f（x）在（-1，+∞）递增，
∴f（x）≥f（-1），
要使对?x∈[-1，+∞）总有f（x）≥

2

3

，
有f（-1）≥

2

3

即可，
即：-

1

3

+a-2+c≥

2

3

，
∴c≥（3-a）_max=

5

2

，
∴c的最小值为

5

2

．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．