Question

15．若变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≥2}\\{x+y≤8}\end{array}\right.$z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a≥b＞0）的最大值2，则a+3b的最小值为16．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，结合z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a≥b＞0）的最大值为2，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$=1，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：由约束条件 $\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≥2}\\{x+y≤8}\end{array}\right.$作出可行域如图，
，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y=8}\end{array}\right.$，解得A（2，6），
化目标函数z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$，
为y=-$\frac{b}{a}$x+bz，
由图可知，当直线y=-$\frac{b}{a}$x+bz过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为$\frac{2}{a}$+$\frac{6}{b}$=2，
即$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$=1，
a+3b=（a+3b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$）=10+$\frac{3a}{b}$+$\frac{3b}{a}$≥10+6=16，
故答案为：16．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．