Question

【题目】如图，在长方体中，，，，平面截长方体得到一个矩形，且，．

（1）求截面把该长方体分成的两部分体积之比；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题意,平面把长方体分成两个高为5的直四棱柱,转化求解体积推出结果即可．

（2）解法一：作,垂足为,证明,推出平面．通过计算求出的值．设直线与平面所成角为,求解即可．

解法二：建立空间直角坐标系,求出平面一个法向量,设直线与平面所成角为,通过空间向量的数量积求解即可．

（1）由题意,面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,

,

,

所以，．

（2）解法一：作,足为,题意，

平面，故，

所以平面,因为,

，所以，因为，

所以．又，

设直线与平面所成角为,则．

所以,直线与平面所成角的正弦值为．

解法二：以、、所在直线分别为

轴、轴、轴建立空间直角坐标系,

则,,,,

故,,

设平面一个法向量为,

则即,

所以可取．

设直线与平面所成角为,

则．

所以，直线与平面所成角的正弦值为．