Question

【题目】函数和有相同的公切线，则实数a的取值范围为_____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a的范围．

解：两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线，

y＝x2﹣1的导数y′＝2x，y＝alnx﹣1的导数为y′，

设y＝x2﹣1相切的切点为（n，n2﹣1）与曲线y＝alnx﹣1相切的切点为（m，alnm﹣1），

y﹣（n2﹣1）＝2n（x﹣n），即y＝2nx﹣n2﹣1，

y﹣（alnm﹣1）（x﹣m），即：y

∴

∴，

∴

即有解即可，

令g（x）＝x2（1﹣lnx），

y′＝2x（1﹣lnx）x（1﹣2lnx）＝0，可得x，

∴g（x）在（0，）是增函数；（，+∞）是减函数，

g（x）的最大值为：g（），

又g（0）＝0，

∴，∴a≤2e．

故答案为：（﹣∞，2e]．