Question

【题目】已知椭圆长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆的左右端点，为原点，是椭圆上异于的任意一点，直线分别交轴于，问是否为定值，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）为定值，理由见解析.

【解析】

（1）根据抛物线的焦点求得，根据椭圆焦点与抛物线焦点的距离求得，由此求得，进而求得椭圆的标准方程.

（2）设出点坐标，求得直线的方程，由此求得两点的坐标，代入化简，证得为定值.

（1）依题意可知，抛物线的焦点坐标为，故，由于椭圆焦点与抛物线焦点的距离是，而，故.所以.所以椭圆的标准方程为.

（2）设，代入椭圆方程并化简得，且.所以直线：，直线：，令分别代入直线的方程，求得，所以为定值.