Question

9．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且$PA=AB=\sqrt{2}$，E是AB中点．
（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）求点E到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥AE．PB⊥AE，即可证明AE⊥平面PBC．
（2）利用点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的$\frac{1}{2}$．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，求解BO即可．

解答 解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴PA⊥BC．
又∵正方形ABCD，∴AB⊥BC．∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE．
又∵PA=AB，E是AB中点，∴PB⊥AE．∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．
（2）∵E是AB中点，
∴点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的$\frac{1}{2}$．
连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，
又∵PA⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，∴PA⊥BO．
∵AC∩PA=A，∴BO⊥平面PAC．
∴BO为点B到平面PAC的距离．
∵$AB=\sqrt{2}$，∴BO=1．
∴$点E到平面PAC的距离为\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及距离投篮能力．