Question

（2008•湖北模拟）在△OAB中，O为坐标原点，A(-1，cosθ)，B(sinθ，1)，θ∈[0，

π

2

]．（1）若|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，则θ=

π

4

，（2）△OAB的面积最大值为

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由题设|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，知

(sinθ-1)2+(1+cosθ)2

=

(-1-sinθ)2+(cosθ-1)2

，整理，得sinθ=cosθ，由收费能求出θ．
（2）在直角坐标系里，△OAB的面积=1-

1

2

（sinθ×1）-

1

2

[cosθ×（-1）]-

1

2

（1-sinθ）（1+cosθ），利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积最大值．

解答：解：（1）∵A(-1，cosθ)，B(sinθ，1)，θ∈[0，

π

2

]，
∴

OA

+

OB

=(sinθ-1，1+cosθ)，

OA

-

OB

=(-1-sinθ，cosθ-1)，
∵|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，
∴

(sinθ-1)2+(1+cosθ)2

=

(-1-sinθ)2+(cosθ-1)2

，
整理，得sinθ=cosθ，
∴θ=

π

4

．
（2）S_△OAB=1-

1

2

（sinθ×1）-

1

2

[cosθ×（-1）]-

1

2

（1-sinθ）（1+cosθ）
=

1

2

+

1

2

sincosθ=

1

2

+

1

4

sin2θ，
因为θ∈（0，

π

2

]，2θ∈（0，π]，
所以当2θ=π即θ=

π

2

时，sin2θ最小，
三角形的面积最大，最大面积为

3

4

．

点评：本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意二倍角公式的合理运用．