Question

已知△ABC中，满足，a，b，c分别是△ABC的三边．
（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．
（2）若不等式a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc对任意的a，b，c都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知条件可得，故△ABC是以∠C为直角的直角三角形，sinA+sinB=sin（A+）∈．
（2）原不等式等价于 对任意的a，b，c均成立，右边=，令，则，利用基本不等式求出f（t）的最小值，即可得到f（t）的范围．
解答：解：（1）∵=•（）+=+，
∴，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形．
∴．（5分）
（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等价于 
对任意的a，b，c均成立．
∵右边=．（8分）
令，则，
∴当时，，（11分） 故 ． （12分）
点评：本题考查正弦定理，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，两个向量垂直的条件，是一道中档题．