题目内容
已知△ABC中，满足| AB |
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
| CA |
| CB |
（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．
（2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc对任意的a，b，c都成立，求实数k的取值范围．
分析：（1）由已知条件可得
•
=0，故△ABC是以∠C为直角的直角三角形，sinA+sinB=
sin（A+
）∈(1 ，
]．
（2）原不等式等价于k≤
对任意的a，b，c均成立，右边=
[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+
，令t=sinA+cosA(t∈(1，
])，则f(t)=t+
=t-1+
+1，利用基本不等式求出f（t）的最小值，即可得到f（t）的范围．
| CA |
| CB |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
（2）原不等式等价于k≤
| a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) |
| abc |
| 1 |
| c3sinAcosA |
| sinA+cosA+1 |
| sinAcosA |
| 2 |
| t+1 | ||
|
| 2 |
| t-1 |
解答：解：（1）∵
2=
•
+
•
+
•
=
•（
-
）+
•
=
2+
•
，
∴
•
=0，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
sin(A+
)∈(1，
]．（5分）
（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等价于k≤
对任意的a，b，c均成立．
∵右边=
[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+
．（8分）
令t=sinA+cosA(t∈(1，
])，则f(t)=t+
=t-1+
+1，
∴当t=
时，f(t)min=3
+2，（11分） 故 k∈[ 3
+2 ，+∞)． （12分）
| AB |
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
| CA |
| CB |
| AB |
| AC |
| BC |
| CA |
| CB |
| AB |
| CA |
| CB |
∴
| CA |
| CB |
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等价于k≤
| a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b) |
| abc |
对任意的a，b，c均成立．
∵右边=
| 1 |
| c3sinAcosA |
| sinA+cosA+1 |
| sinAcosA |
令t=sinA+cosA(t∈(1，
| 2 |
| t+1 | ||
|
| 2 |
| t-1 |
∴当t=
| 2 |
| 2 |
| 2 |
点评：本题考查正弦定理，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，两个向量垂直的条件，是一道中档题．
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轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案
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