Question

14．已知直线1：y=kx+$\frac{1}{2}$与离心率为e的双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，0＜b＜$\frac{1}{2}$）相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若对任意的k∈R，x₁x₂+y₁y₂恒为定值，则有（　　）

• A． e²=$\frac{2}{1-4{b}^{2}}$
• B． e²=$\frac{1}{1-4{b}^{2}}$
• C． e²=$\frac{1+4{b}^{2}}{1-4{b}^{2}}$
• D． e²=1-4b²

Answer 1

分析 k取0，则y=$\frac{1}{2}$，k=$\frac{1}{2a}$，y=$\frac{1}{2a}$x+$\frac{1}{2}$，分别求出x₁x₂+y₁y₂，列出等式，即可得出结论．

解答 解：由题意，k取0，则y=$\frac{1}{2}$，x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}{b}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{1}{4}$
取A（-a，0），k=$\frac{1}{2a}$，y=$\frac{1}{2a}$x+$\frac{1}{2}$，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$（{b}^{2}-\frac{1}{4}）{x}^{2}$-$\frac{a}{2}$x-$\frac{{a}^{2}}{4}$-a²b²=0，
∴x₁x₂=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}{b}^{2}}{1-4{b}^{2}}$，∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}{b}^{2}}{1-4{b}^{2}}$，
∴$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}{b}^{2}}{1-4{b}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}{b}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{1}{4}$
∴e²=$\frac{1+4{b}^{2}}{1-4{b}^{2}}$．
故选：C．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，取特殊点是解题的关键．