Question

7．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足f（S_n+2）-f（a_n）=f（3）（n∈N^*），则a₆=（　　）

• A． $\frac{1}{2}×{（{\frac{3}{2}}）^6}$
• B． $\frac{1}{2}×{（{\frac{3}{2}}）^5}$
• C． ${（{\frac{3}{2}}）^5}$
• D． ${（{\frac{3}{2}}）^6}$

Answer 1

分析 由f（S_n+2）-f（a_n）=f（3），即为f（S_n+2）=f（3）+f（a_n），由条件可得f（S_n+2）=f（3a_n），由单调性可得S_n+2=3a_n，求得首项，将n换为n-1，相减，运用等差数列的通项公式即可得到所求值．

解答 解：f（S_n+2）-f（a_n）=f（3），即为
f（S_n+2）=f（3）+f（a_n），
由f（x•y）=f（x）+f（y），可得
f（S_n+2）=f（3a_n），
由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
可得S_n+2=3a_n，
当n=1时，可得S₁+2=3a₁=a₁+2，
解得a₁=1，
当n＞1时，S_n-1+2=3a_n-1，
相减可得，a_n=3a_n-3a_n-1，
即为a_n=$\frac{3}{2}$a_n-1，
则a_n=a₁（$\frac{3}{2}$）^n-1=（$\frac{3}{2}$）^n-1．
则a₆=（$\frac{3}{2}$）⁵．
故选C．

点评 本题考查函数的单调性的运用，抽象函数的运用，考查数列的通项的求法，注意运用通项和前n项和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，属于中档题．