关于函数$f(x)=cos+cos$.则下列命题:①y=f(x)的最大值为$\sqrt{2}$,②y=f(x)在定义域上是偶函数,③y=f(x)在区间$[\frac{π}{24}.\frac{13π}{24}]$上是减函数,④将函数$y=\sqrt{2}cos2x$的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位后.将与函数y=f(x)的图象重合．其中正确命题的序号是①③④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．关于函数$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+cos（2x+\frac{π}{6}）$，则下列命题：
①y=f（x）的最大值为$\sqrt{2}$；
②y=f（x）在定义域上是偶函数；
③y=f（x）在区间$[\frac{π}{24}，\frac{13π}{24}]$上是减函数；
④将函数$y=\sqrt{2}cos2x$的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位后，将与函数y=f（x）的图象重合．
其中正确命题的序号是①③④．

分析化简函数f（x）为余弦型函数，求出f（x）的最大值与最小正周期，并判断f（x）的单调性和图象平移问题．

解答解：函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{2}$）
=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-sin（2x-$\frac{π}{3}$）
=$\sqrt{2}$cos[（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]
=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$），
对于①，y=f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，命题正确；
对于②，f（-x）≠f（x），不是偶函数，命题错误；
对于③，x∈[$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$]时，2x-$\frac{π}{12}$∈[0，π]，
cos（2x-$\frac{π}{12}$）是单调减函数，
∴y=f（x）在区间[$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$]上是减函数，命题正确；
对于④，将函数y=$\sqrt{2}$cos2x的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位，
得y=$\sqrt{2}$cos2（x-$\frac{π}{24}$）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$）的图象，命题正确；
综上，以上正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．

点评本题考查了余弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数化简与图象平移问题，是综合性题目．