Question

设定义域为R的函数f（x）=

a  (x=1) ( 1 2 )|x+1|+1(x≠1)

，若关于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则a的取值范围是（　　）

• A、（0，1）
• B、(0，

  1

  2

  )∪(

  1

  2

  ，1)
• C、（1，2）
• D、(1，

  3

  2

  )∪(

  3

  2

  ，2)

Answer 1

分析：题中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有5个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根；再结合2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，即可求出结论．

解答：解：∵题中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有且只有5个不同实数解，
∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，
∴故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根．
所以有：1＜a＜2    ①．
再根据2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，
得：△=（2a+3）²-4×2×3a＞0⇒a≠

3

2

     ②
结合①②得：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．
故选：D．

点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．