题目内容
设定义域为R的函数f(x)=
若关于x的方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0有5个不同的实数解,则m=( )
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分析:故先根据题意作出f(x)的简图,令t=f(x),则由题意可得关于t的方程t2-(2m+1)t+m2=0有一根为t=4,另一个根大于4或等于0,把t=4代入方程t2-(2m+1)t+m2=0
求得m=2或m=6.经过检验,只有m=6满足条件.
求得m=2或m=6.经过检验,只有m=6满足条件.
解答:解:∵题中原方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0有5个不同的实数根,结合函数f(x)的图象可得,
令t=f(x),则关于t的方程t2-(2m+1)t+m2=0有一根为t=4,另一个根大于4或等于0.
把t=4代入方程t2-(2m+1)t+m2=0求得m=2或m=6.
当m=2时,关于t的方程t2-(2m+1)t+m2=0有一根为t=4,另一个根等于1,不满足条件.
当m=6时,关于t的方程t2-(2m+1)t+m2=0有一根为t=4,另一个根等于9,满足条件.
故答案为:6.
令t=f(x),则关于t的方程t2-(2m+1)t+m2=0有一根为t=4,另一个根大于4或等于0.
把t=4代入方程t2-(2m+1)t+m2=0求得m=2或m=6.
当m=2时,关于t的方程t2-(2m+1)t+m2=0有一根为t=4,另一个根等于1,不满足条件.
当m=6时,关于t的方程t2-(2m+1)t+m2=0有一根为t=4,另一个根等于9,满足条件.
故答案为:6.
点评:本题主要考查方程的根的存在性以及根的个数判断,数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,属于中档题.
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