Question

设定义域为R的函数f(x)=

5|x-1|-1，x≥0 x2+4x+4，x＜0

若关于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7个不同的实数根，则实数m=

 

．

Answer 1

分析：题中原方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7个不同的实数根，即要求对应于f（x）=某个常数有3个不同实数解，
故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）=4时，它有三个根．故关于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7个不同的实数根．

解答：解：∵题中原方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有7个不同的实数根，
∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，
∴故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）=4时，它有三个根．
故关于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有一个实数根4．
∴4²-4（2m+1）+m²=0，
∴m=2，或m=6，
m=6时，方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有5个不同的实数根，所以m=2．
故答案为：2．

点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．