题目内容

设定义域为R的函数f(x)=
-2x+a2x+1+b
(a,b为实数)若f(x)是奇函数.
(1)求a与b的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(3)证明对任何实数x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.
分析:(1)利用奇函数的定义,建立等式,即可求a与b的值;
(2)确定函数解析式,利用导数法,可得函数的单调性;
(3)确定左、又函数的最值,即可证得结论.
解答:(1)解:∵f(x)是奇函数时,
∴f(-x)=-f(x),即
-2-x+a
2-x+1+b
=-
-2x+a
2x+1+b
对任意实数x成立.
化简整理得(2a-b)•22x+(2ab-4)•2x+(2a-b)=0,这是关于x的恒等式,所以
2a-b=0
2ab-4=0

所以
a=-1
b=-2
(舍)或
a=1
b=2

(2)解:f(x)在R上单调递减,证明如下:
由(1)知f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=-
2x-1
2x+1+2
=-
1
2
×
2x+1-2
2x+1
=-
1
2
+
1
2x+1

f′(x)=
-2xln2
(2x+1)2
<0,
∴f(x)在R上单调递减;
(3)证明:f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=-
1
2
+
1
2x+1

因为2x>0,所以2x+1>1,0<
1
2x+1
<1
,从而-
1
2
<f(x)<
1
2

c2-3c+3=(c-
3
2
)2+
3
4
3
4
对任何实数c成立;
所以对任何实数x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.
点评:本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查函数的值域,考查学生的计算能力,属于中档题.
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