Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，平面．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）根据菱形对角线互相垂直及平面ABCD，由线面垂直的判定定理得到平面PBD；

（2）可直接作出线面角用几何法求之，也可建立空间直角坐标系用向量法求之．

（Ⅰ）底面ABCD是平行四边形且，

是菱形，即，

又平面ABCD，得，

所以平面PBD．

（Ⅱ）方法一（几何法）：

取BC的中点Q，

连结PQ，DQ，交AC于点G，

过点G作，连HC，

在平行四边形ABCD中且

是正三角形，即点G为重心，

又平面ABCD，得，又，

即平面PDQ，所以面面PDQ，

由作法知，平面PBC，

所以就是直线AC与平面PBC所成的角，

设，则，再由相似求得

在，，

所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值是．

方法二(坐标法):

取PB的中点Q，以O为原点，分别以OA，OB，OQ为轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，

，，，

设平面PBC法向量，

则，

取，

记直线AC与平面PBC所成角为，

得，

所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值是．