Question

【题目】已知函数f（x）＝x2+acosx．

（1）求函数f（x）的奇偶性．并证明当|a|≤2时函数f（x）只有一个极值点；

（2）当a＝π时，求f（x）的最小值；

Answer 1

【答案】（1）偶函数，证明详见解析；（2）．

【解析】

（1）由奇偶性定义容易判断函数的奇偶性；要说明函数只有一个极值点，即导函数只有一个零点，结合导函数的单调性即可解决；

（2）讨论函数f（x）的单调性，求出函数的极小值、端点处函数值比较即可求出最小值．

（1）因为f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）是偶函数．

f′（x）＝2x﹣asinx，f′（0）＝0，故只需讨论x＞0时情况，

∵x＞0，由三角函数的性质知，x＞sinx，2≥|a|，∴f′（x）＞0，∴x＞0时，f（x）是增函数，

又f（x）是偶函数，所以x＜0时，f（x）单调递减．

故|a|≤2时，函数f（x）只有一个极小值点x＝0．

（2）由（1）知，只需求x≥0时f（x）的最小值．

，

设h（x）＝2x﹣πsinx，h′（x）＝2﹣πcosx，因为，

由零点存在性定理，存在唯一的，使得h′（x0）＝0．

当x∈（0,x0），h′（x）＜0，h（x）递减；．

又因为h（0）＝h（）＝0，所以x时，f′（x）＝h（x）＜0恒成立，f（x）在（0,）上递减；

当x时，f′（x）＝2x﹣πsinx＞π﹣πsinx＞0，f（x）为增函数．

所以．