Question

【题目】如图（1），在矩形中，在边上，.沿将和折起，使平面和平面都与平面垂直，连接，如图（2）.

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）分别取AF，BE的中点M，N，连结DM，CN，MN．根据条件可证得平面ADF⊥平面ABEF，则DM⊥平面ABEF．同理CN⊥平面ABEF，从而DM∥CN．可得MN∥AB，则CD∥AB；

（2）根据体积关系以及线段长度关系可得V三棱锥B﹣DCE＝2V三棱锥B﹣EFC＝2V三棱锥C﹣EFB．由（1）知，CN⊥平面BEF，即可得所求

（1）分别取AF，BE的中点M，N，连结DM，CN，MN．

由图（1）可得，△ADF与△BCE都是等腰直角三角形且全等，

∴DM⊥AF，CN⊥BE，DM＝CN．

∵平面ADF⊥平面ABEF，交线为AF，DM平面ADF，DM⊥AF，

∴DM⊥平面ABEF．

同理，CN⊥平面ABEF，∴DM∥CN．

又∵DM＝CN，∴四边形CDMN为平行四边形，∴CD∥MN．

∵M，N分别是AF，BE的中点，

∴MN∥AB，

∴CD∥AB；

（2）由图可知，V三棱锥D﹣BCE＝V三棱锥B﹣DCE，

∵EF＝1，AB＝3，∴CD＝MN＝2，

∴V三棱锥B﹣DCE＝2V三棱锥B﹣EFC＝2V三棱锥C﹣EFB．

由（1）知，CN⊥平面BEF．

∵，，∴，

∴．