Question

【题目】给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

（1）已知数列的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由；

（2）已知数列满足且，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；

（3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使．

Answer 1

【答案】（1）不是；见解析（2）或；（3）证明见解析

【解析】

（1）数列不为封闭数列．由，2时，，可得，，可得，即可得出结论．

（2）数列满足且，可得数列为等差数列，公差为2．．又是“封闭数列”，得：对任意，，必存在使，得，故是偶数，又由已知，，故，可得．

（3）要证明充分必要条件的问题，本题需要从两个方面来证明，一是证明充分性，二是证明必要性，证明时注意所取得数列的项来验证时，项要具有一般性．

解：（1）数列不为封闭数列．

∵，2时，，，

可得，，∴，因此不是封闭数列．

（2）数列满足且，

∴数列是以2为公差的等差数列，则．

又是“封闭数列”，

∴对任意，，必存在使，

得，故是偶数，

又由已知，，故，可得：，

可得或或，

经过验证可得：或．

（3）证明：（必要性）若存在整数，使，则任取等差数列的两项，，

于是，

由于，，为正整数，，

是封闭数列．

（充分性）任取等差数列的两项，，若存在使，

则，

故存在，使，

下面证明．

当时，显然成立．

对，若，则取，对不同的两项和，存在使，

即，这与，矛盾，

故存在整数，使．