Question

已知数列具有性质：①为正数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若成等差数列，求的值；
(3)设，数列的前项和为，求证：

Answer 1

（1）；(2) 2；（3）证明见试题解析．

试题分析：（1）由于64不算大，可以依次计算出，因为按照定义，，而此开始，故可得出通项公式；（2）显然必须是整数，而且要计算，因此我们可以根据的值分类讨论（分成四类）．（3）
要证不等式，最好能求出，那么也就要求出数列的各项，那么我们根据数列定义，由为奇数，则为偶数，为奇数，接下来各项都是偶数，一起到某项为1，下面一项为0，以后全部为0．实际上项为1的项是第项，且时，
时，因此是最大的，但在计算时，要注意当时，，只要它不为0，就可继续下去．
试题解析：（1）由，可得，，…，，，，，…，
即的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．　（2分）
故数列的通项公式为．　    （4分）
（2）若时，，，
由成等差数列，可知即，解得，故；(舍去)
若时，，，
由成等差数列，可知，解得，故；(舍去)（3分）
若时，，，
由成等差数列，可知，解得，故；
若时，，，
由成等差数列，可知，解得，故；(舍去)
∴的值为2．                          （6分）
（3）由（），可得，
，，
若，则是奇数，从而，
可得当时，成立．            （3分）
又，，…
故当时，；当时，．           （5分）
故对于给定的，的最大值为

，
故．                      （8分）项和与最大值．