Question

设函数f（x）=4^x-m•2^x（m∈R）．
（Ⅰ）当m≤1时，判断函数f（x）在区间（0，1）内的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅱ）记g（x）=lgf（x），若g（x）在区间（0，1）上有意义，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当m≤1时，函数f（x）在区间（0，1）内为单调增函数．运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（Ⅱ）由于g（x）在区间（0，1）上有意义，则f（x）＞0，即4^x-m•2^x＞0在（0，1）上恒成立，运用参数分离和指数函数的单调性求出值域，即可得到m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当m≤1时，函数f（x）在区间（0，1）内为单调增函数．
设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=4x1-m•2x1-（4x2-m•2x2）
=（4x1-4x2）-m（2x1-2x2）=（2x1-2x2）（2x1+2x2-m）．
由于0＜x₁＜x₂＜1，则1＜2x1＜2x2＜2，
又m≤1，则2x1+2x2-m＞0，
则（2x1-2x2）（2x1+2x2-m）＜0，
即有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
则函数f（x）在区间（0，1）内为单调增函数；
（Ⅱ）由于g（x）在区间（0，1）上有意义，
则f（x）＞0，即4^x-m•2^x＞0在（0，1）上恒成立，
即m＜2^x在（0，1）上恒成立，
由于2^x∈（1，2），
则有m≤1．

点评：本题考查函数的单调性的判断和证明，考查对数的真数大于0，考查不等式恒成立问题转化为求范围，考查运算能力，属于中档题和易错题．