Question

5．抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p的值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形得到p的方程，求出p即可．

解答 解：抛物线的焦点坐标为（0，$\frac{p}{2}$），
准线方程为：y=-$\frac{p}{2}$，
准线方程与双曲线联立可得：$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{p}^{2}}{12}$=1，
解得x=±$\sqrt{3+\frac{{p}^{2}}{4}}$，
因为△ABF为等边三角形，
所以$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|=p，
即有$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{3+\frac{{p}^{2}}{4}}$=p，
解得p=6．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．