Question

2．已知$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，…，$\sqrt{m+\frac{m}{t}}=m\sqrt{\frac{m}{t}}$（m，t∈N*且m≥2），若不等式λm-t-3＜0恒成立，则实数λ的取值范围为（　　）

• A． $[2\sqrt{2}，+∞）$
• B． $（-∞，2\sqrt{2}）$
• C． （-∞，3）
• D． [1，3]

Answer 1

分析 由等式归纳得出m和t的关系，从而得出关于m的恒等式，利用函数单调性得出最小值即可得出λ的范围．

解答 解：由3=2²-1，8=3²-1，15=4²-1，归纳得t=m²-1，
∵λm-t-3＜0恒成立，即λm-m²-2＜0恒成立，m∈N*且m≥2，
∴λ＜$\frac{{m}^{2}+2}{m}$=m+$\frac{2}{m}$，
令f（m）=m+$\frac{2}{m}$，则f′（m）=1-$\frac{2}{{m}^{2}}$，
∵m≥2，∴f′（m）＞0，
∴f（m）单调递增，
∴当m=时，f（m）取得最小值f（2）=3，
∴λ＜3．
故选：C．

点评 本题考查了归纳推理，函数恒成立问题与函数最值，属于中档题．