Question

由代数式化简知识可得：（a+b）（aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹）-ab（aⁿ+bⁿ）=aⁿ⁺²+bⁿ⁺²．若x，y满足x+y=1，x²+y²=2，则y⁵+y⁵=（　　）

• A、

  21

  4

• B、5
• C、

  19

  4

• D、

  9

  2

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：由题意得（x+y）（xⁿ⁺¹+yⁿ⁺¹）-xy（xⁿ+yⁿ）=xⁿ⁺²+yⁿ⁺²．分别令N=0，1，2，3，求得答案．

解答： 解：∵（a+b）（aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹）-ab（aⁿ+bⁿ）=aⁿ⁺²+bⁿ⁺²．
令a=x，b=y
∴（x+y）（xⁿ⁺¹+yⁿ⁺¹）-xy（xⁿ+yⁿ）=xⁿ⁺²+yⁿ⁺²．
令n=0，
∴（x+y）（x+y）-2xy=x²+y²．
∵x+y=1，x²+y²=2，
∴xy=-

1

2

，
令n=1，
∴x³+y³=（x+y）（x²+y²）-xy（x+y）=1×2+

1

2

×1=

5

2

，
令n=2，
∴x⁴+y⁴=（x+y）（x³+y³）-xy（x²+y²）=1×

5

2

+

1

2

×2=

7

2

，
令n=3，
∴x⁵+y⁵=（x+y）（x⁴+y⁴）-xy（x³+y³）=1×

7

2

+

1

2

×

5

2

=

19

4

故选：C．

点评：本题考查了归纳推理的问题，关键是找规律，属于基础题．