Question

过平面区域

x-y+2≥0 y+2≥0 x+y+2≤0

内一点P作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（　　）

• A、

  95

  10

• B、

  19

  20

• C、

  9

  10

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，
则P到圆心的距离最大即可，
由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小，
由

y+2=0 x-y+2=0

，解得

x=-4 y=-2

，即D（-4，-2），
此时|OD|=

(-4)2+(-2)2

=

20

=2

5

，|OA|=1，
则∠APO=

α

2

，即sin

α

2

=

|AO|

|OP|

=

1

2 5

，
此时cosα=1-2sin²

α

2

=1-2（

1

2 5

）²=1-

1

10

=

9

10

，
故选：C

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．