题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（Ⅰ）若点A的横坐标是
，点B的纵坐标是
，求sin（α+β）的值；
（Ⅱ）若|AB|=
，求
•
的值．
（Ⅰ）若点A的横坐标是
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
（Ⅱ）若|AB|=
| 3 |
| 2 |
| OA |
| OB |
（Ⅰ）根据三角函数的定义得，cosα=
，sinβ=
．…（2分）
∵α的终边在第一象限，∴sinα=
．…（3分）
∵β的终边在第二象限，∴cosβ=-
．…（4分）
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=
×(-
)+
×
=
．…（7分）
（Ⅱ）方法（1）∵|AB|=|
|=|
-
|，…（9分）
又∵|
-
|2=
2+
2-2
•
=2-2
•
，…（11分）
∴2-2
•
=
，
∴
•
=-
．…（13分）
方法（2）∵cos∠AOB=
=-
，…（10分）
∴
•
=|
||
|cos∠AOB=-
．…（13分）
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
∵α的终边在第一象限，∴sinα=
| 4 |
| 5 |
∵β的终边在第二象限，∴cosβ=-
| 5 |
| 13 |
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=
| 4 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
| 16 |
| 65 |
（Ⅱ）方法（1）∵|AB|=|
| AB |
| OB |
| OA |
又∵|
| OB |
| OA |
| OB |
| OA |
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
∴2-2
| OA |
| OB |
| 9 |
| 4 |
∴
| OA |
| OB |
| 1 |
| 8 |
方法（2）∵cos∠AOB=
| |OA|2+|OB|2-|AB|2 |
| 2|OA||OB| |
| 1 |
| 8 |
∴
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 8 |
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＝(5,1)，
＝(1,7)，
＝(4,2)，且
.
，使
？若存在，求出实数
取最小值点M的坐标.