Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx （a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的图象关于直线x=1对称，结合方程f （x）=x有等根其△=0，我们可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式，我们根据f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，我们易判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-

b

2a

，∴-

b

2a

=1．①
又f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）²=0．②
由①，②得 b=1，a=-

1

2

．∴f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）∵f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

．
如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤

1

2

，∴n≤

1

6

．
从而m＜n≤

1

6

＜1，而x≤1，f（x）单调递增，
∴

f(m)=- 1 2 m2+m=3m f(n)=- 1 2 n2+n=3n

，
可解得m=-4，n=0满足要求．
∴存在m=-4，n=0满足要求．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中（1）的关键是由已知条件构造关于a，b的方程组，（2）的关键是根据函数的值域判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程．