Question

6．已知点F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，且|MF|=5，线段MF的中点为N，点T为C上的一个动点，则|TF|+|TN|的最小值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得p的方程，求得p=2，可得焦点和准线，再由中点坐标公式，可得N的横坐标，结合抛物线的定义和三点共线取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：点F（$\frac{p}{2}$，0）为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，
准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，且|MF|=5，
由抛物线的定义可得4+$\frac{p}{2}$=5，
解得p=2，即有抛物线的方程为y²=4x，
M（4，4），F（1，0），准线方程为x=-1，
设TK垂直于准线于K，
由|TF|+|TN|=|TK|+|TN|≥|NK|，
当K，T，N三点共线时，取得等号．
由中点坐标公式可得N的横坐标为$\frac{5}{2}$，
即有|TF|+|TN|的最小值为$\frac{5}{2}$+1=$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法和三点共线的性质，考查数形结合思想方法，属于中档题．