Question

11．若关于x的不等式log_a（|x-2|+|x+a|）＞2（a＞0且a≠1）恒成立，则a的取值范围是（1，2）．

Answer 1

分析 由题意可得当a＞1时，可得|x-2|+|x+a|＞a²恒成立，由绝对值不等式的性质，可得|x-2|+|x+a|的最小值，解关于a的不等式可得a的范围；再讨论0＜a＜1时，可得|x-2|+|x+a|＜a²恒成立，由绝对值不等式的性质，可知不恒成立．

解答 解：关于x的不等式log_a（|x-2|+|x+a|）＞2（a＞0且a≠1）恒成立，
即有当a＞1时，可得|x-2|+|x+a|＞a²恒成立，
由|x-2|+|x+a|≥|x-2-x-a|=|2+a|=2+a，当（x-2）（x+a）≥0时，取得等号，
即有a²＜2+a，解得-1＜a＜2，即为1＜a＜2；
当0＜a＜1时，可得|x-2|+|x+a|＜a²恒成立，
由于|x-2|+|x+a|≥|x-2-x-a|=2+a，无最大值，则|x-2|+|x+a|＜a²不恒成立，
综上可得1＜a＜2．
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查对数不等式的解法，以及恒成立思想的运用，注意运用转化思想，以及绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．