Question

11．在△ABC中，已知sin（A+B）=2sinAcosB，那么△ABC一定是（　　）

• A． 等腰直角三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 由正弦定理可得2acosB=c，由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，可得$\frac{c}{2a}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，化简可得a=b，进而可得答案．

解答 解：∵在△ABC中，已知sin（A+B）=2sinAcosB，
∴sinC=2sinAcosB，
由正弦定理可得 2acosB=c，又由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
∴cosB=$\frac{c}{2a}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
∴a²=b²，
故a=b，故△ABC一定是等腰三角形，
故选：C．

点评 本题三角形形状的判断，考查正弦定理，余弦定理的应用，得到 cosB=$\frac{c}{2a}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，是解题的关键．