Question

16．已知等差数列{a_n}满足a₃=7，a₅+a₇=26，若${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$（n∈N^*），则数列{b_n}的前10项和S₁₀=$\frac{10}{69}$．

Answer 1

分析 利用等差中项及a₅+a₇=26可知a₆=13，进而可知公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}$=2，从而a_n=2n+1，进而利用裂项相消法计算即得结论．

解答 解：因为数列{a_n}是等差数列，
所以2a₆=a₅+a₇=26，即a₆=13，
又因为a₃=7，
所以公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}$=2，
所以a_n=a₃+（n-3）d=2n+1，
所以${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n+1}$•$\frac{1}{2n+3}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）（n∈N^*），
所以数列{b_n}的前10项和S₁₀=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{21}$-$\frac{1}{23}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{23}$）=$\frac{10}{69}$，
故答案为：$\frac{10}{69}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法求和，注意解题方法的积累，属于中档题．