Question

（本小题满分13分）如图所示，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是棱上的动点．

（Ⅰ）若是的中点，求证：//平面；
（Ⅱ）若，求证：；
（III）在（Ⅱ）的条件下，若，求四棱锥的体积．

Answer 1

（1）根据底面为菱形， 所以为的中点．
因为 是的中点，所以从而得证。
（2）根据已知的条件得到平面，然后结合线面垂直的性质定理得到结论
（3）

试题分析：（Ⅰ）证明:连结，交于．

因为底面为菱形， 所以为的中点．
因为 是的中点，所以 ，
因为平面，平面，
所以平面． …………………4分
（Ⅱ）证明：因为底面为菱形，
所以，为的中点．
因为，所以 ．   
因为，所以 平面．因为平面，
所以 ．                   ………………………………8分
（Ⅲ）因为，所以△为等腰三角形 ．
因为为的中点，所以．
由（Ⅱ）知，且，
所以平面，即为四棱锥的高． 
因为四边形是边长为2的菱形，且，
所以．
所以 ．              ……………12分
点评：解决该试题的关键是利用空间的线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理来证明平行与垂直同时根据等体积法来求解体积。属于中档题。