Question

【题目】已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an2+an-2．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

（3）是否存在实数λ使得Tn+2＞λSn对n∈N+恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．

（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式．

（3）利用恒成立问题的应用和函数的单调性的应用求出参数的取值范围．

（1）当n=1时，a1=2或-1（舍去）．

当n≥2时，，

整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，

可得an-an-1=1，

∴{an}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列．

∴．

（2）由（1）得an=n+1，

∴．

∴．

（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，

即对一切正整数恒成立，只需满足即可，

令，

则

当

故 f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞…

当n=3时有最小值．

所以．