Question

【题目】如图，在四棱锥中，是等边三角形，点是上的一点，平面平面，，，，，.

（Ⅰ）若点是的中点，求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）通过已知条件先证明线线垂直，从而证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理，即可得证；

（Ⅱ）根据题意，将体积之比转换成面积之比，利用三角形面积公式求出，的值，进而求出的面积，再利用等体积法转换，即可得解.

（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接.

因为，点是的中点，所以.

因为，，，所以，所以.

因为是等边三角形，点是的中点，所以.

因为平面平面，平面，所以平面.

又因为平面，所以.

因为，平面，平面，

所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

（Ⅱ）因为，，，，所以.

则，

解得，，点为的中点.

因为是等边三角形，所以的高.

因为，所以.