Question

【题目】已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，丄底面.

（1）证明：平面平面；

（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）先证明等腰梯形中，然后证明，即可得到丄平面，从而可证明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如图的空间坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由可得到答案。

（1）证明：在等腰梯形，，

易得

在中，，

则有，故，

又平面，平面，，

即平面，故平面丄平面.

（2）在梯形中，设，

，，

，而,

即，.

以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图的空间坐标系，则，，

设平面的法向量为，

由得，

取，得，，

同理可求得平面的法向量为，

设二面角的平面角为，

则，

所以二面角的余弦值为.