Question

【题目】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面底面ABCD，，，E，Q分别是BC和PC的中点．

（I）求直线BQ与平面PAB所成角的正弦值；

（Ⅱ）求二面角E-DQ-P的正弦值．

Answer 1

【答案】（I） （II）

【解析】

（I）取AD中点O，连接OP，OB，BD，建立空间直角坐标系后，求出各点坐标，可得，面PAB的一个法向量为，利用即可得解；

（Ⅱ）由题意，求出平面DEQ的一个法向量为，平面DQC的一个法向量为，求出后，利用平方关系即可得解.

（I）取AD中点O，连接OP，OB，BD．

因为，所以．

又侧面底面ABCD，

面面，平面POD，

所以平面ABCD，易知．

又在菱形ABCD中，，O为AD中点，则

故建立以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的坐标系．

因为ABCD菱形，且，，

则，，，，，

又E，Q是中点，则、，

所以，，

设面PAB的一个法向量为，直线BQ与平面PAB所成角，

则，

取，则，，

故，

所以，

故直线BQ与平面PAB所成角的正弦值为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，，，

所，，

所以平面DEQ的一个法向量为，

因，，

设平面DQC的一个法向量为，二面角E-DQ-P为，

则即．

令，则，，即

所以，

所以，

故所求二面角的正弦值为．