Question

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1；③，则的值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知条件求出f（1）、f（）、f（）、f（）、f（）的值，利用当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），
∴＜＜，有f（）≤f（）≤f（），而f（）==f（），有 f（）=，结果可求．
解答：解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，∴f（1）=1，
令x=，所以有f（）=，又∵③，∴f（x）=2f（），f（）=2f（）
f（）=f（x），令x=1，有f（）=f（1）=，
令x=，有f（）=f（）=，f（）=f（）=，
非减函数性质：当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），∴＜＜，有f（）≤f（）≤f（），
而f（）==f（），所以有 f（）=，则=+2f（）=+2×=1．
点评：本题考查抽象函数的应用，充分利用题意中非减函数性质．