Question

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）试讨论函数F（x）在定义域D上的单调性；
（3）若关于x的方程F（x）-2m²+3m+5=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的定义域即可的得出，利用对数的运算法则即可得出函数的零点；
（2）通过对a分类讨论，利用一次函数、反比例函数、对数函数的单调性即可得出复合函数F（x）的单调性；
（3）利用（2）的函数F（x）的单调性可得其值域，进而转化为即一元二次不等式的解集．

解答：解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=2loga(x+1)+loga

1

1-x

（a＞0且a≠1）
要使函数有意义，则

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
∴函数F（x）的定义域为（-1，1）．
令F（x）=0，则2loga(x+1)+loga

1

1-x

=0…（*）
方程变为loga(x+1)2=loga(1-x)，（x+1）²=1-x，即x²+3x=0
解得x₁=0，x₂=-3．
经检验x=-3是（*）的增根，∴方程（*）的解为x=0，
∴函数F（x）的零点为0．
（2）由于函数y=x+1，y=

1

1-x

在定义域D上是增函数．可得：
①当a＞1时，由复合函数的单调性知：函数f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

在定义域D上是增函数．
∴函数F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是增函数．
②当0＜a＜1时，由复合函数的单调性知：
函数f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

，在定义域D上是减函数．
∴函数F（x）=2f（x）+g（x）在定义域D上是减函数．
（3）问题等价于关于x的方程2m²-3m-5=F（x）在区间[0，1）内仅有一解，
①当a＞1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是增函数，
∴F（x）∈[0，+∞），
∴只需2m²-3m-5≥0，
解得：m≤-1，或m≥

5

2

．
②当0＜a＜1时，由（2）知，函数F（x）在[0，1）上是减函数，
∴F（x）∈（-∞，0]，
∴只需2m²-3m-5≤0，
解得：-1≤m≤

5

2

．
综上所述，当0＜a＜1时：-1≤m≤

5

2

；
当a＞1时，m≤-1，或m≥

5

2

．

点评：本题考查了一次函数、反比例函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了利用函数单调性求出函数的值域、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．