Question

10．在直角坐标系xOy中，将曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C₂，将曲线C₁向上平移一个单位得到曲线C₃，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₂的普通方程及曲线C₃的极坐标方程；
（Ⅱ）若点P是曲线C₂上任意一点，点Q是曲线C₃上任意一点，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设曲线C₂上的任意一点（x，y），则$（\frac{x}{2}，y）$在曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）上，代入即可得出曲线C₂的参数方程，消去参数可得普通方程．同理可得：将曲线C₃的参数方向与普通方程．利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出曲线C₃的极坐标方程．
（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），利用两点之间的距离公式可得：|PC|²=$-3（sinθ+\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{16}{3}$，再利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设曲线C₂上的任意一点（x，y），则$（\frac{x}{2}，y）$在曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$为曲线C₂的参数方程，可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
同理可得：将曲线C₁向上平移一个单位得到曲线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$，
化为普通方程：x²+（y-1）²=1．
可得曲线C₃的极坐标方程为：ρ²-2ρsinθ=0，化为ρ=2sinθ．
（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），
则|PC|²=（2cosθ）²+（sinθ-1）²=4cos²θ+sin²θ-2sinθ+1=$-3（sinθ+\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{16}{3}$，
∴当sin$θ=-\frac{1}{3}$时，$|PC{|}_{max}^{2}$=$\frac{16}{3}$．
∴PQ的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+1．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、坐标变换、参数方程化为普通方程及其应用、二次函数的单调性、三角函数的单调性与值域、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．