Question

已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（I）当时，

当，当 ，

所以函数在和单调递增，在单调递减，

所以当时，函数取到极大值为，

当时，函数取到极小值为-2. …………（6分）

（II）当时，由函数在其图像上一点处的切线方程，

得

设

且

        …………（10分）

当时，在上单调递减，

所以当时，；

当时，在上单调递减，

所以当时，；

所以在不存在 “转点”. …………（13分）

当时，，即在上是增函数.

当时，当时，即点为“转点”.

故函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标. …………（16分）