Question

18．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，B，C成等差数列．
（1）若a，b，c成等比数列，求A，B，C；
（2）若$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=12$，b=2$\sqrt{7}$，求a，c．

Answer 1

分析 （1）由A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，再利用三角形内角和定理可得：B=$\frac{π}{3}$．由a，b，c成等比数列，可得b²=ac，利用正弦定理可得：sinAsinC=$（sin\frac{π}{3}）^{2}$，
即$sinAsin（\frac{2π}{3}-A）$=$\frac{3}{4}$，利用和差公式、倍角公式展开即可得出．
（2）由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=12$，利用数量积运算性质可得：ac=24．由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，化为a+c=10．联立解出即可．

解答 解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，
又A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
由正弦定理可得：sinAsinC=$（sin\frac{π}{3}）^{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴$sinAsin（\frac{2π}{3}-A）$=$\frac{3}{4}$，
展开为$sinA（\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}sin2A+\frac{1}{2}×\frac{1-cos2A}{2}$=$\frac{3}{4}$，
化为：$\sqrt{3}sin2A-cos2A=2$，
$sin（2A-\frac{π}{6}）$=1，
∵A∈（0，π），
∴$2A-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得$A=\frac{π}{3}$，
∴C=π-A-B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=12$，
∴accos$\frac{π}{3}$=12，化为ac=24．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴28=a²+c²-2ac$•cos\frac{π}{3}$，化为a+c=10．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ac=24}\\{a+c=10}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=6}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{c=4}\end{array}\right.$．
∴a=4，c=6，或a=6，c=4．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质、正弦定理余弦定理、和差公式与倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．