Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且直线与的斜率互为相反数，直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线的斜率为，直线的斜率为.证明： 为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值为

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为,且过点，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得结果；（Ⅱ）设,联立,消去得,,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得则，所以为定值.

试题解析：（Ⅰ）由题可得,解得.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题知直线斜率存在,设.

联立,消去,

由题易知恒成立,由韦达定理得,

因为与斜率相反且过原点,

设, ,

联立,

消去得,

由题易知恒成立,

由韦达定理得,

则

，所以为定值.