Question

【题目】已知，是的中点．

（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；

（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值；

（3）若点是内一点，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）根据向量数量积等于，可得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，根据向量加法、减法以及数量积的坐标表示即可求向量的夹角.

（2）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示即可求解.

（3）设，可得，利用向量的数量积可得，，再将平方，根据向量数量积定义以及基本不等式即可求解.

（1）因为，所以，

以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系．

令，则，

所以，

设向量，与向量的夹角为，

，

（2）因为，所以，

以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系．

因为，则，

设

，

当且仅当时，的最小值是．

（3）设，

，

同理：，

当且仅当时，所以．