Question

【题目】如图，四棱锥中， ，且平面， 为棱的中点．

(1)求证： ∥平面;

(2)求证：平面平面;

(3)当四面体的体积最大时，判断直线与直线是否垂直，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）取线段的中点，利用平几知识得四边形是平行四边形,得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得.再根据线面垂直性质得，由线面垂直判定定理得平面.即得平面.最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）先根据体积公式得时体积最大.再根据线面垂直得. 由线面垂直判定定理得平面，即得

试题解析：

（1）证明：取线段的中点，连接.

因为为棱的中点，

所以在中， .

又， ,所以.

所以四边形是平行四边形, 所以.

又平面, 平面,所以平面.

（2）因为, 为中点,所以.

又平面, 平面,所以

又,所以平面.

又，所以平面.

因为平面,所以平面平面.

（3）.

设，

则四面体的体积 .

当，即时体积最大.

又平面, 平面,所以.

因为,所以平面.

因为平面，所以.