Question

13．已知等差数列{a_n}，等比数列{b_n}的公比为q（n，q∈N*），设{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n．若T_2n+1=S${\;}_{{q}^{n}}$，则a_n=2n-1．

Answer 1

分析 n=1时，T₂+1=S_q，n=2时，T₄+1=S_q²，由于T₄=b₁+b₂+b₃+b₄=b₁+b₂+q²（b₁+b₂）=（1+q²）（b₁+b₂）=（1+q²） T₂，可得S_q²-1=（1+q²）（S_q-1），根据等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：n=1时，T₂+1=S_q，
n=2时，T₄+1=S_q²，
∵T₄=b₁+b₂+b₃+b₄=b₁+b₂+q²（b₁+b₂）=（1+q²）（b₁+b₂）=（1+q²） T₂，
∴S_q²-1=（1+q²）（S_q-1）．
∴q²a₁+$\frac{{q}^{2}（{q}^{2}-1）}{2}$d-1=（1+q²）（qa₁+$\frac{q（q-1）}{2}d-1$），
解得：a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，
故答案为：2n-1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．