Question

4．某超市在开业一个月（30天）内日接待顾客人数（万人）与时间t （天）的函数关系近似满足f（t）=1+$\frac{4}{t}$，顾客人均消费额（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=84-|t-20|．
（1）求该超市日销售额y （万元）与时间t （天）的函数关系式；
（2）求该超市日销售额的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据日销售额$y=f（t）•g（t）=（{1+\frac{4}{t}}）（{84-|{t-20}|}）$，得该超市日销售额y （万元）与时间t （天）的函数关系式；
（2）因为g（t）=84-|t-20|中有一个绝对值，讨论t的取值，1≤t≤20和20＜t≤30两种情况化简得g（t）为分段函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可．

解答 解：（1）由题意可知，日销售额$y=f（t）•g（t）=（{1+\frac{4}{t}}）（{84-|{t-20}|}）$=$\left\{\begin{array}{l}（{1+\frac{4}{t}}）（{t+64}），1≤t≤20\\（{1+\frac{4}{t}}）（{104-t}），20＜t≤30\end{array}\right.，t∈{N^*}$
（2）①当1≤t≤20且t∈N*时，$y=t+\frac{256}{t}+68≥2\sqrt{t•\frac{256}{t}}+68=100$，
当且仅当$t=\frac{256}{t}$，即t=16时取等号；
②当20＜t≤30且t∈N*时，$y=\frac{416}{t}-t+100$在区间（20，30]上单调递减，
所以t=30时，${y_{min}}=\frac{1258}{15}$．因为$100＞\frac{1258}{15}$，
所以综上，第30天该超市日销售额最小，最小值为$\frac{1258}{15}$万元．

点评 考查学生根据实际情况选择函数类型的能力，以及基本不等式在求函数最值中的应用能力．